Exercices corrigés en électricité et machines électriques : champ tournant et électrotechnique

🔄 Exercice mis à jour : Août 2026

Exercice corrigé : champ tournant et théorème de Ferraris

Cet exercice porte sur le champ tournant d'une machine triphasée et sur le théorème de Ferraris. Il permet d'étudier la contribution des trois bobinages statoriques, la vitesse du champ tournant, l'inversion de son sens de rotation ainsi que l'action électromagnétique exercée sur un rotor.

Le problème constitue également une introduction utile à la compréhension du fonctionnement des machines synchrones et asynchrones et de la relation entre fréquence, nombre de paires de pôles et vitesse de rotation.

🎯 Objectifs pédagogiques

À travers cet exercice, l'objectif est de comprendre comment trois systèmes sinusoïdaux déphasés peuvent produire un champ magnétique tournant et comment ce champ interagit avec un rotor.

• déterminer les expressions des inductions produites par les bobinages ;
• obtenir l'expression globale du champ tournant ;
• déterminer sa vitesse et son sens de rotation ;
• comprendre l'effet de l'inversion de deux phases ;
• relier fréquence, vitesse synchrone et nombre de paires de pôles ;
• analyser l'action du champ statorique sur un rotor aimanté.

📑 Sommaire

• 📘 Rappel théorique : champ tournant et Ferraris
• 📋 Énoncé de l'exercice
• 📝 Questions 1 à 7
• 🧮 Méthode de résolution
• ✅ Solution détaillée
• 📥 Exercices supplémentaires
• ❓ Questions fréquentes

📘 Rappel théorique : champ tournant et théorème de Ferraris

Dans une machine triphasée, les trois bobinages statoriques sont spatialement décalés et alimentés par des courants sinusoïdaux également déphasés dans le temps.

Chaque bobinage produit une contribution magnétique dépendant de sa position spatiale et du courant qui le traverse. Lorsque les trois contributions sont superposées, leur combinaison peut donner un champ magnétique résultant de module pratiquement constant et tournant dans l'espace dans le modèle idéal étudié dans cet exercice.

💡 Idée fondamentale :

Le théorème de Ferraris explique qu'un système triphasé équilibré peut produire un champ magnétique tournant. La vitesse de ce champ dépend de la fréquence d'alimentation et du nombre de paires de pôles.

⚙️ Vitesse synchrone

La vitesse de rotation du champ tournant, appelée vitesse synchrone, est donnée par :

N_s = 60 f / p

avec N_s en tr/min, f en Hz et p le nombre de paires de pôles.

Cette relation constitue une formule fondamentale pour l'étude des machines électriques alternatives.

Fréquence	p = 2	p = 3	p = 4
50 Hz	1500 tr/min	1000 tr/min	750 tr/min

On constate donc qu'à fréquence constante, l'augmentation du nombre de paires de pôles entraîne une diminution de la vitesse du champ tournant.

📋 Énoncé de l'exercice

Exercice 1 : Champ tournant, théorème de Ferraris

On considère la structure de principe d'un stator de machine à courant alternatif triphasé représentée sur la figure 1.

Figure 1 — Structure simplifiée du stator

Les trois bobinages portent les noms conventionnels A, B et C. On cherche à déterminer la valeur de l'induction produite au point O lorsqu'ils sont parcourus par les courants indiqués dans l'énoncé.

On suppose que le matériau magnétique est linéaire et que l'induction produite au point O par le bobinage A dans la direction d'axe θ peut être écrite, de manière simplifiée :

B_a(θ) = K i_a cos(θ)

Le problème demande ensuite d'étudier la contribution des autres bobinages, puis la résultante des trois champs et enfin l'interaction entre le champ statorique et un rotor aimanté.

📝 Questions de l'exercice

1) Inductions produites par les trois bobinages

Écrire les expressions des inductions produites au point O par les bobinages B et C, en tenant compte de leur position spatiale par rapport au bobinage A.

2) Induction résultante

Calculer l'expression littérale de l'induction totale B(θ) créée au point O par les trois bobinages en fonction de K, i_a, i_b, i_c et θ.

3) Étude temporelle du champ tournant

Exprimer ensuite B(θ,t) en remplaçant les courants par leurs expressions temporelles. Déterminer la direction, la vitesse de rotation et l'amplitude de l'induction résultante.

Énoncer le théorème de Ferraris, puis étudier l'effet de l'inversion des courants i_b et i_c.

4) Vitesse du champ à 50 Hz

Déterminer la vitesse de rotation N (tr/min) du champ correspondant à une alimentation de fréquence 50 Hz.

5) Interaction avec le rotor aimanté

On place maintenant au centre de la machine un rotor aimanté possédant deux pôles, Nord et Sud. Déterminer l'expression du couple magnétique appliqué au rotor en fonction de B_r, B(θ) et de l'angle ψ.

Déterminer également la condition sur la vitesse Ω permettant d'obtenir un couple moyen non nul.

6) Couple maximal

Déterminer la valeur de l'angle ψ correspondant au couple maximal et expliquer qualitativement ce qui se produit lorsque cet angle dépasse la valeur permettant d'obtenir le couple maximal.

7) Influence du nombre de paires de pôles

Lorsque le nombre de paires de pôles vaut p, déterminer la vitesse de rotation du champ tournant en fonction de la fréquence f.

Figure 2 — Rotor aimanté placé au centre de la machine

🔢 Nombre de paires de pôles

L'augmentation du nombre de paires de pôles modifie la vitesse spatiale du champ tournant. La relation générale est :

N_s = 60 f / p

Pour une fréquence de 50 Hz :

• p = 2 : N_s = 1500 tr/min
• p = 3 : N_s = 1000 tr/min
• p = 4 : N_s = 750 tr/min

🧮 Méthode pour résoudre l'exercice

Pour résoudre ce type de problème efficacement, il est conseillé de ne pas commencer directement par les calculs. Commencez par identifier la structure physique et les relations entre les grandeurs.

1. Identifier les trois phases : repérer les courants triphasés et leur déphasage.
2. Écrire les champs élémentaires : exprimer la contribution de chaque bobinage.
3. Faire la somme : regrouper les trois contributions dans une même expression.
4. Simplifier avec les identités trigonométriques : cette étape permet de faire apparaître la forme d'un champ tournant.
5. Identifier la vitesse : comparer l'argument temporel et spatial de l'expression obtenue.
6. Étudier l'inversion de deux phases : vérifier la modification du signe ou du sens de rotation.
7. Relier le résultat au nombre de pôles : utiliser la relation de vitesse synchrone.

⚠️ Relation à retenir

Pour une machine alimentée par un système triphasé équilibré, la vitesse du champ tournant dépend directement de la fréquence et inversement du nombre de paires de pôles :

N_s = 60 f / p

Cette relation est fondamentale pour comprendre la vitesse synchrone des machines électriques alternatives.

✅ Solution de l'exercice

La correction complète de l'exercice est proposée dans la ressource dédiée. Avant de consulter la correction, il est recommandé d'essayer de traiter chaque question en utilisant la méthode présentée ci-dessus.

📌 Conseils avant de consulter la correction

• vérifier les déphasages entre les trois courants ;
• distinguer clairement angle spatial et angle temporel ;
• simplifier l'expression trigonométrique avant de conclure ;
• comparer votre résultat avec la relation de vitesse synchrone.

✅ Voir la solution de l'exercice

📥 Exercices supplémentaires à télécharger

Pour consolider les notions de machines électriques et poursuivre l'entraînement, deux exercices supplémentaires sont proposés au format PDF.

📄 Exercice supplémentaire 1

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📄 Exercice supplémentaire 2

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🔗 Continuer l'apprentissage

Le champ tournant et les machines électriques constituent des notions complémentaires à l'étude de l'automatisme industriel. Vous pouvez poursuivre avec les ressources suivantes.

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❓ Questions fréquentes

Qu'est-ce qu'un champ tournant ?

Un champ tournant est un champ magnétique résultant dont l'orientation varie dans l'espace au cours du temps. Dans une machine triphasée idéale, il peut être produit par trois bobinages alimentés par un système triphasé équilibré.

Quelle est la relation entre fréquence et vitesse synchrone ?

Pour une machine comportant p paires de pôles, la vitesse synchrone en tours par minute est : N_s = 60f/p.

Que se passe-t-il lorsqu'on inverse deux phases ?

L'ordre des phases est modifié, ce qui entraîne une inversion du sens de rotation du champ tournant.

Pourquoi la vitesse diminue-t-elle lorsque le nombre de pôles augmente ?

À fréquence d'alimentation constante, le champ doit parcourir davantage de paires de pôles pour effectuer un cycle mécanique équivalent. La relation N_s = 60f/p montre directement cette diminution.

Quelle est la différence entre vitesse synchrone et vitesse du rotor ?

La vitesse synchrone correspond à la vitesse du champ tournant. Dans une machine asynchrone en fonctionnement moteur, la vitesse mécanique du rotor est légèrement inférieure à cette vitesse afin qu'un glissement existe.

✅ Conclusion

Cet exercice permet de comprendre une notion fondamentale des machines électriques : la création d'un champ magnétique tournant à partir d'un système triphasé.

Il met également en évidence le lien entre fréquence, nombre de paires de pôles et vitesse synchrone, ainsi que l'influence de l'ordre des phases sur le sens de rotation.

Pour progresser, il est recommandé de résoudre d'abord les questions de manière autonome, puis de comparer votre démarche à la correction et de poursuivre avec les exercices supplémentaires proposés.

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